Por Román Ceano

El primero que se había topado con las permutaciones fue Lagrange en 1770, cuando trataba de desentrañar los secretos de las ecuaciones polinómicas de la física matemática, entronizada por Newton a finales del siglo anterior. Lagrange trataba de descubrir por qué las ecuaciones de segundo y cuarto grado tienen solución, y utilizó como herramienta una curiosa propiedad que había comprobado empíricamente: si intercambiamos los tres coeficientes de una ecuación de segundo grado, las seis posibilidades que tenemos sólo producen dos valores diferentes, por lo que algunas de éstas son intercambiables entre sí. Utilizó esto como una muleta y ni siquiera le dio un nombre.

Veinte años después, Ruffini trataba de demostrar que las ecuaciones de quinto grado no tienen solución. Conocedor del trabajo de Lagrange, siguió la misma vía, pero se vió obligado a analizar mejor las implicaciones del concepto. Bautizó las posibilidades equivalentes como permutazzione, y estudió los resultados de operarlas entre sí. Estableció sólo lo que necesitaba para sus intereses, que era una mínima caja de herramientas: dos permutaciones se pueden combinar entre sí para obtener una tercera; si tenemos tres, es igual operar de delante hacia atrás que al revés, pero no se puede cambiar el orden; y, finalmente, existen dos tipos diferentes de permutaciones, que él llamó semplize y composta (divididas éstas últimas en tres subtipos). Su demostración de la no solubilidad de las quínticas tenía algunos errores, que intentó refinar inútilmente. Luchando por rellenar los agujeros de su razonamiento, se adentró más y más en las permutaciones y terminó publicando un trabajo sobre ellas.

El gran Cauchy en persona sufrió un proceso similar. Cauchy estaba fundamentando todo el análisis matemático, y generalizando sistemáticamente todos los conceptos relativos a las soluciones de polinomios de grado-n, por lo que se vio abocado también a trabajar con las permutaciones. Tal como había hecho Ruffini, describió esos objetos matemáticos, aunque llegó mucho más lejos, hasta prácticamente agotar el tema. En 1844 publicó sus conclusiones en un trabajo que se hizo famoso dos años después, cuando salieron a la luz unos papeles de Galois que relacionaban la estructura de le groupe de permutaciones con las simetrías en las soluciones algebraicas de las ecuaciones asociadas. El trabajo de Cauchy tenía un ámbito de aplicación mucho mayor que el de el Galois, pero éste último introducía el concepto abstracto de “grupo”, que llamó mucho la atención. La relación de éste con las simetrías tendría a la larga una gran importancia. Si se reformulaba el trabajo de Cauchy en los términos establecidos por Galois, se estaba describiendo una estructura característica que había sido vista en otras ocasiones. Jordan profundizó más y definió el isomorfismo de permutaciones, demostrando un teorema que Halder en 1889 generalizó a grupos abstractos, es decir, a cualquier objeto matemático que tuviera estructura de “grupo”. Cayley (famoso entre los ingenieros aeronáuticos por el ser el fundador de la disciplina, muchos años antes de que el motor de explosión permitiera el vuelo sostenido), compiló unas tablas de permutaciones que se convirtieron en referencia.

En 1897, Burnside publicó su Teoría de Grupos de Orden Finito, en que se describía la estructura común de una infinidad de objetos matemáticos. Resultaba impresionante que ramas completamente alejadas de la matemática, investigadas por personas diferentes a lo largo de siglos, tuviesen una analogía tan grande entre sí. Ése fue el momento de mayor gloria de las permutaciones, puesto que aparecían luciendo esta estructura descubierta en ellas y que compartían con estrellas de la matemática, como el conjunto de los enteros o las diversas geometrías laboriosamente descritas a lo largo del siglo XIX. Pero ése fue el final de su gloria. El concepto de “grupo” -considerado entonces el hallazgo matemático más importante de todos los tiempos- voló sólo, y a esas alturas ya no hacían falta permutaciones para estudiar los secretos de los polinomios, porque éstos habían dejado de tenerlos. Las permutaciones se convirtieron en lo que son hoy: la alfombrilla de entrada al concepto de grupo y el ejemplo más trivial de esta estructura. Nadie más pensó que hubiera algo adicional que estudiar en las permutaciones en sí, hasta que Rejewski las necesitó para usarlas como afilada arma de guerra.

 

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